Principe de la transformation de Karhunen-Loeve

La transformation de Karhunen-Loeve a pour but de transformer un tableau de données de i individus et de r
réalisations pour pouvoir en donner une meilleur interprétation. L'idée de la transformation est de réaliser un changement de base pour obtenir de nouveaux axes où l'information contenue sur chaque axe est distribuée de façon optimale, c'est-à-dire de façon à éloigner au maximum le comportement des individus pour pouvoir mieux cerner leur comportement. Dans le cas d'une image décomposée en RGB, une image (n*p pixels) peut être considérée conne un tableau de données ayant 3 individus (R,G et B)et np réalisations. Le coefficient correspondant à la ième  réalisation du jème individu est la valeur du  ième pixel de la jème composante (comprise entre 0 et 255).

On peut directement analyser les données brutes. L'origine du nuage est définie par l'observation qui a comme coordonnées (0,0,0). Cette origine est très rarement intéressante car elle n'a aucun sens physique. Le plus intéressant est de choisir comme référence le centre de gravité (m1,m2,m3). L'analyse devient une analyse centrée sur le nuage de points. Elle revient à remplacer chaque observation par l'écart de ses coordonnées avec les écarts avec la moyenne. La transformation de Karhunen-Loeve garde la prépondérance de certaines variables sur d'autres (on ne normalise pas le nuage de point).

Pour maximiser l'information sur chacun des axes, il faut se mettre dans le référentiel qui permet la comparaison de
ces variables. Pour cela on se place dans le référentiel dont la base est constituée des vecteurs propres de la matrice de corrélation de tableau de variable centré.



Propriétés de l'algorithme

La première propriété importante de la transformation de Karhunen-Loeve est la totale décorrélation des nouvelles données. De cette propriété émerge un corollaire important du traitement d'image: la transformation des images peut se faire séparément et indépendamment. De plus il est très intéressant de séparer les différentes composantes de l'analyse colorimétrique, les informations sur la luminance sont contenues sur l'axe 1, les informations de chrominances sont contenues sur les axes 2 et 3.
La seconde propriété fondamentale de la transformation est qu'elle est optimale dans le sens ou l'on obtient la plus grande distribution de variances sur les axes et que l'énergie du signal est entièrement conservée. Dans l'espace KL, toute l'énergie est contenue dans la somme des valeurs propres. Mieux, l'énergie de chaque axe est donnée par la valeur propre associée. Comme par définition λ1>λ2>λ3, l'axe 1 est énergétiquement prépondérant sur les deux autres. Si on regarde sur les diverses réalisations, on peut remarquer que ce dernier est très prépondérant vis-à-vis des deux autres.
 

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