Représentation spatiale d’une image

 

Une image est une répartition d'intensités lumineuses dans un plan, donc un signal à deux dimensions. Elle peut être continue ( représentée par une fonction f(x,y) continue) ou discrète, c'est alors un tableau ou une matrice de nombres : c'est le cas en des images numériques traitées par ordinateur.

Une image numérique est représentée par une matrice rectangulaire dont les éléments correspondent à la valeur de la couleur de chaque pixel. Dans le cas des images en noir et blanc, cette valeur est alors l’intensité lumineuse des pixels.

Dans le cadre de notre étude,  aura affaire à des images « réelles » car le niveau de gris sera un nombre réel. Mais il est utile de signaler qu'il existe aussi des images « complexes »  où l'intensité en un point est représentée par un nombre complexe.

 

Définition de la Transformée de Fourier (TF)

 

La notion de transformée de Fourier à deux dimensions est une généralisation de celle à une dimension.

Soit f(x,y) une fonction à deux variables représentant l'intensité d'une image au point d'abscisse x et d'ordonnée y. La transformée de Fourier de cette image permet de passer d'une représentation spatiale à la représentation de l’image dans le domaine fréquentiel. Elle est donnée par :

F(u,v) est la transformée de fourrier de la matrice f(m,n). Les deux variables u et v représentent les fréquences spatiales de l'image selon les directions Ox et Oy respectivement.

 

Or, l’image ayant un nombre de pixels fini, l’intensité lumineuse des pixels est donc un signal à support borné. D’où l’utilisation de la TF discrète donnée par :

 

 

Nous voyons d'après l'expression de la TF que F(u,v) est en général un nombre complexe, même si f(m,n) est un nombre réel. F(u,v) possède donc une amplitude et une phase. On peut choisir de représenter l'une ou l'autre. Nous ne nous intéresserons qu'à l'amplitude.

 

Les propriétés de la TF sont détaillées dans le paragraphe Propriétés de la transformée de Fourier 2D .

 

Intérêt de la transformée de Fourier pour l’étude de textures

 

Le but de l’utilisation de  la transformée de Fourier dans ce travail est de mettre en évidence les caractéristiques fréquentielles d'une texture. Nous nous intéresserons uniquement au spectre de Fourier (i.e le module de la transformée de Fourier) de l’image de texture, sans nous soucier de la phase. En effet, le spectre permet de rendre compte de la distribution énergétique de l’image, de respecter aussi bien la périodicité que l’orientation des motifs de l’image de texture, ce qui est particulièrement pratique dans l’étude des textures.

 

Interprétation de la transformée de Fourier en terme de hautes fréquences et basses  fréquences

 

 

Si on effectue sur la TF le changement de variables suivant

 


La valeur de pour un couple  donne l'amplitude d'une sinusoïde complexe de pulsation wdans la direction q.

 

 

Les basses fréquences et les hautes fréquences dans le plan de Fourier

 

 

Pour de nombreuses images, la moyenne (au sens des probabilités) de l'amplitude est indépendante de la direction $\theta$ et décroît régulièrement en fonction de $\omega $. Si on diminue l'amplitude des hautes fréquences (filtrage passe bas en fonction de $\omega $pour toutes les valeurs de $\theta$) l'image apparaît floue, les contours sont moins nets. Si au contraire on augmente l'amplitude aux hautes fréquences on rehausse les contours mais l'image parait plus bruitée (il y a un grain plus important).

 

Le spectre de Fourier varie sensiblement d’une image à une autre. Néanmoins, la plupart des spectres d’images présentent des caractéristiques communes telles que la présence de droites, d’une épaisseur plus ou moins importantes qui passent par l’origine.

 

-         Plus une droite est longue, plus elle porte des fréquences élevées.

-         La direction des droites indique les lignes de force de l'image d'origine, qui lui sont perpendiculaires.

-         Si une droite est constituée de points ou stries alignés, cela indique une certaine périodicité de l'image dans la direction perpendiculaire.

 

 

Exemple1 : Image artificielle

 

Nous appliquons la TF sur l’image suivante :

        

Image initiale et son spectre

 

Filtrage Passe bas

 

On applique un filtre passe-bas à l’image initiale et on observe l’effet du filtrage sur la transformée de Fourier.

 

Spectre de Fourier après filtrage passe-bas

 

On remarque la concentration des fréquences autour de zéro : en diminuant le contraste, on diminue les composantes haute-fréquence du spectre.

 

Filtrage Passe haut

 

 L’application d’un filtre passe-haut sur l’image initiale donne le spectre suivant :

 

 

Selon le code de couleur utilisé, plus on a de points rouges, plus on a de hautes fréquences. Il est clair que le domaine des hautes fréquences présente des intensités bien supérieures à celles de l’image initiale (on a plus de rouge dans ce domaine).

 

Exemple2 : Image réelle

 

Nous appliquons la TF sur une image réelle avant et après son filtrage. Nous travaillerons sur une image réelle représentant un mur de briques :

 

 

 

         

Image initiale et son spectre

 

Filtrage Passe bas

 

On applique un filtre passe-bas à l’image initiale et on observe l’effet du filtrage sur la transformée de Fourier. Selon le code de couleur utilisé, moins on a de points rouges, moins la TF présente de hautes fréquences, c’est à dire plus la TF est « lissée ».

 

               

Image filtrée passe-bas et son spectre

 

On a bien une image initiale plus floue et une TF plus lisse. De plus, on remarque une concentration de l’énergie dans le domaine des basses fréquences.

 

Filtrage Passe haut

 

On applique un filtre passe-haut à l’image initiale et on observe l’effet du filtrage sur la transformée de Fourier. Selon le code de couleur utilisé, plus on a de points rouges, plus on a de hautes fréquences. Le spectre s’étale pour couvrir plus de points dans le domaine des hautes fréquences. Ceci s’illustre par la figure ci-dessous :

 

              

Image filtrée passe-haut et son spectre

 

Notons par ailleurs que la transformée de Fourier admet une direction verticale dominante. En fait, cette direction renseigne sur la direction du motif de la texture qui est principalement horizontale. Cette caractéristique de la TF sera détaillée dans la suite.

 

Interprétation de la transformée de Fourrier d’une image de textures

 

Nous choisissons, en premier lieu, d’analyser des images ne contenant que la texture synthétisée afin d’éviter de voir des fréquences parasites interférer avec les fréquences de la texture d’étude. Si la texture possède une certaine structure, il en ira de même pour le module de la transformée de Fourier.

 

En effet, si la texture est moins ordonnée, voire complètement aléatoire, le spectre du module de la transformée de Fourier de cette texture sera également assez aléatoire et nous ne saurons rien en tirer. Néanmoins, le spectre de la TF présente généralement certains pics. Ces pics nous informent sur l'orientation de la structure ainsi que sur son amplitude. En particulier, 

 

 

Images à fréquences pures

 

Les images qui sont de purs cosinus ou de purs sinus ont des transformées de Fourier particulièrement simples.

 

L’image suivante représente un sinus horizontal. On voit donc un motif de direction verticale qui se répète dans l’image. Sa transformée de Fourier présente trois points alignés horizontalement, c’est à dire dans la direction perpendiculaire à celle du motif.

 

            

Spectre d’une image de sinus horizontal

 

Regardons maintenant une image de sinus vertical. Sa transformée de Fourier présente aussi trois points alignés, mais verticalement, c’est à dire dans la direction perpendiculaire à celle du motif.

 

        

Spectre d’une image de sinus vertical

 

Dans les deux cas, la  transformée de Fourier est constituée de trois points :

 

 

On remarque, par ailleurs, que plus la fréquence est élevée plus les points sont espacés.

 

De plus, la première image dont on prend la transformée est invariante selon l'axe des y. C'est pour cela que la transformée de Fourier ne peut être non nulle que pour v =0. De même pour la deuxième image qui est invariante sur l’axe des x.

 

Pour une image constituée de sinus dans les deux directions x et y, nous obtenons la figure suivante :

 

            

Même périodicité horizontale et verticale

 

On obtient 9 points en dehors du point central. Ces points représentent  la périodicité dans les sens horizontal, vertical et diagonal. Les autres points d’intensité plus faible sont dus à des effets de bord.

 

Le lien entre l’espacement des pics du spectre et la périodicité du motif dans l’image est mise en évidence dans la figure suivante, qui présente des sinus avec deux fréquences différant horizontalement et verticalement :

 

 

 

           

Périodicités  horizontale et verticale différentes

 

 

En effet, les points sont plus espacés horizontalement car la fréquence horizontale est plus élevée que la fréquence verticale.

Lignes perpendiculaires

 

Nous notons dans les exemples précédents que lorsqu'il y a dans l'image d'origine des lignes fortes, apparaissent dans sa transformée de Fourier des lignes perpendiculaires à ces lignes fortes. Ceci se retrouve dans d'autres exemples :

 

 

                

TF d’une image de lignes perpendiculaires

 

 

Cette image est composée de carrés répartis avec une certaine périodicité selon les composantes horizontales et verticales. Aux différentes lignes horizontales correspond dans la transformée de Fourier les points de la ligne verticale, qui est une ligne dominante. Aux différentes lignes verticales correspond dans la transformée de Fourier les points de la ligne horizontale. Les périodicités verticales et horizontales des lignes se retrouvent dans l’espacement régulier des points dans la transformée de Fourier.

Observons maintenant le spectre d’une image de texture réelle présentant des lignes perpendiculaires.

 

      

Spectre d’une texture présentant des lignes perpendiculaires

 

 

Le spectre est, certes, moins démonstratif que dans le cas d’une texture synthétique. Néanmoins, on retrouve une concentration de l’énergie autour des deux axes principaux. La présence d’une large zone blanche homogène au niveau de l’image initiale explique la dominance des basses fréquences au niveau du spectre.

 

Rotation

 

Nous avons vu sur les exemples précédents que la TF nous renseigne sur la direction principale du motif dans la texture. En effet, si l’énergie est concentrée autour d’une droite particulière (en général, il s’agit de l’un des deux axes), alors le motif est orienté suivant la direction perpendiculaire à cette droite.

 

Ci dessous une image contenant une texture orientée selon les diagonales. On voit sur son spectre une concentration d’énergie autour des diagonales. Une  rotation de la texture se traduit donc pour une rotation de la TF.

 

     

Spectre d’une texture orientée sur les diagonales

 

 

Conclusion

 

La transformée de Fourier permet d’explorer la composition fréquentielle de l’image, et de par ses propriétés, de lui appliquer des opérateurs de filtrage. Lors de cette transformation, le signal est décomposé sur un ensemble de signaux de base qui sont cosinus, sinus ou l’exponentielle imaginaire et forment une base orthogonale (qui permet de supprimer les redondances d’informations). Cette technique a été utilisée par plusieurs chercheurs pour tenter de caractériser les images de textures. En effet, elle est un outil bien utile pour la caractérisation globale de la texture. En outre, l'analyse locale par Fourier n’est pas suffisamment précise et ne renseigne pas sur toutes les informations nécessaires à la caractérisation d’une texture. Dans la section suivante, nous reviendrons sur les insuffisances de la transformée de Fourier et nous introduirons l’usage d’un outil espace-fréquence et temps-échelle plus approprié qui est la transformée en ondelettes et qui sera au centre du restant de ce travail.